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算法与思路

离散化(Discretization)

在以前介绍的树状数组中，只需要开一个与原序列中最大元素相等的长度数组就行，那么如果我的序列是1，5，3，8，999，本来5个元素，却需要开到999这么大，造成了巨大的空间浪费，

离散化就是另开一个数组\(d\)，\(d[i]\)用来存放第 \(i\) 小的数在原序列的什么位置，比如原序列 \(a=\{999,333,444,21,1\}\)，第一小就是1，他在 \(a\) 中的位是5，所以 \(d[1]=5\)，同理 \(d[2]=3\)，...，所以 \(d\) 数组为 \(d=\{5,3,4,2,1\}\)，

具体实现： 

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for (int i = 1; i <= n; i++) {
    scanf("%d", &a[i]);
    v.push_back(a[i]);
}

sort(v.begin(), v.end());
v.erase(unique(v.begin(), v.end()), v.end());

for (int i = 1; i <= n; i++)
    a[i] = upper_bound(v.begin(), v.end(), a[i]) - v.begin();

树状数组求和

根据上面的步骤每一次把一个新的数x放进去之后，都要求比他大的元素有几个，而比他大的元素个数一定是 \(x+1\) 到 \(n\) 中存在数的个数，也就是 \([x+1,n]\) 中有几个数，是不是很耳熟，有点像之前讲的前缀和了，只不过树状数组 \(tr\) 表是的不是前缀和了，\(tr[x]\) 表示的是 \([1,x]\) 中有几个数已经存在，这样我们每次把一个新的数 \(x\) 放进去的时候，都需要把包含这个数的结点更新，然后查询 \([x+1,n]\) 有几个数已经存在。

即 \(ans=sum(n)-sum(x)\)

具体实现： 

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LL res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    res += sum(n) - sum(a[i]);
    add(a[i], 1);
}

代码

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

using i64 = long long;

const int N = 500010;

int n;
int w[N], tr[N];
vector<int> v;

inline int lowbit(int x) {
    return x & -x;
}

inline void add(int x, int k) {
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
        tr[i] += k;
}

inline int sum(int x) {
    int res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i))
        res += tr[i];
    return res;
}

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> w[i];
        v.push_back(w[i]);
    }

    sort(v.begin(), v.end());
    v.erase(unique(v.begin(), v.end()), v.end());

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        w[i] = upper_bound(v.begin(), v.end(), w[i]) - v.begin();

    i64 res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        res += sum(n) - sum(w[i]);
        add(w[i], 1);
    }

    cout << res << endl;

    return 0;
}

运行结果

accept

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