1143. 最长公共子序列

题目描述

给定两个字符串 \(text1\) 和 \(text2\)，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 \(0\) 。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。

两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

示例 1：

1
2
3

输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 
输出：3  
解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。

示例 2：

1
2
3

输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "abc" ，它的长度为 3 。

示例 3：

1
2
3

输入：text1 = "abc", text2 = "def"
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。

提示：

\(1\) \(≤\) \(text1.length, text2.length\) \(≤\) \(1000\)
\(text1\) 和 \(text2\) 仅由小写英文字符组成。

算法与思路

动态规划 \(O(n^2)\)

状态 \(dp[i][j]\)

定义：\(test1\) 的前 \(i\) 个字母和 \(test2\) 的前 \(j\) 个字母的组成的公共子序列的集合。
属性：子序列长度的最大值。

状态转移：

\(test1[i] ≠ test2[j]\) 时
1. \(test1[i]\) 不包含在最长公共子序列中；
2. \(test2[j]\) 不包含在最长公共子序列中。
根据状态的定义，可以得出\(a\)情况可以用 \(dp[i - 1][j]\) 的状态表示；同理，\(b\)情况可以用 \(dp[i][j - 1]\) 的状态表示。
\(test1[i] = test2[j]\) 时

可以由 \(dp[i - 1][j - 1] + 1\) 来表示。

最后可以根据状态的定义，可以得知，\(dp[n][m]\) 为最终答案。

复杂度分析：

时间复杂度：\(O(nm)\) 。每次计算一个 \(test1\) 的字符，就要遍历一遍 \(test2\) 的所有字符。

空间复杂度：\(O(nm)\) 。需要 \(n\) 行 \(m\) 列的 \(dp\) 数组来存储状态。

代码

C++

class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        int dp[1010][1010];
        memset(dp, 0, sizeof dp);

        int n = text1.size(), m = text2.size();
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                if (text1[i - 1] == text2[j - 1])
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - 1] + 1);
            }

        return dp[n][m];
    }
};