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【模板】线段树1(区间修改，区间查询)

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题目描述

数据范围

  • \(1≤N,M≤10^5\)
  • 数列中任意元素的和在 \([-2^{63}, 2^{63})\)内

算法与思路

标记的含义：本区间已经被更新过了，但是子区间却没有被更新过，被更新的信息是什么。

线段树节点 node

首先此题涉及区间修改，我们需要加入懒标记记为 \(add\)，表示当前节点区间已经加上了 \(add\)，但是子树未被更新。

其次，我们还需要一个数 \(sum\) 来表示当前区间和。因此节点node即为： 

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typedef long long LL;

struct node {
    int l, r;
    LL sum, add;
} tr[N << 2];

pushup操作

首先 \(pushup\) 操作是向上传递，我们并不需要把懒标记传给祖宗节点。所以只需要维护 \(sum\) 即可。

\[root.sum=left.sum+right.sum;\]

pushup函数： 

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void pushup(int u) {
    tr[u].sum = tr[u << 1].sum + tr[u << 1 | 1].sum;
}

pushdown操作

显然，父区间是包含子区间的，也就是对于父区间的标记和子区间是有联系的。在大多数情况下，父区间和子区间的标记是 相同的 。因此，我们可以由父区间的标记推算出子区间应当是什么标记。

在每次修改和查询操作时，我们需要将当前节点的懒标记清空并传递给子节点。

对于子节点，\(add\) 只需加上父节点的 \(add\)，而 \(sum\) 是需要区间内每个数都加上 \(add\)，因此转移方程为：

\[son.add+=root.add;\]
\[son.sum+=(son.r-son.l+1)*root.add;\]

pushdown函数： 

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void pushdown(int u) {
    auto &root = tr[u];
    auto &left = tr[u << 1];
    auto &right = tr[u << 1 | 1];
    if (root.add) {
        left.add += root.add;
        left.sum += 1ll * (left.r - left.l + 1) * root.add;
        right.add += root.add;
        right.sum += 1ll * (right.r - right.l + 1) * root.add;
        root.add = 0;   // 清空lazy tag
    }
}

建树操作

建树时，叶子节点的 \(sum\) 即为当前数列中的数，懒标记 \(add\) 初始为 \(0\)。

注意：祖宗节点每次建立完左右子树后，需要 \(pushup\) 操作一次，修改当前节点的值。

build函数： 

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void build(int u, int l, int r) {
    if (l == r) tr[u] = {l, r, w[r], 0};
    else {
        tr[u].l = l, tr[u].r = r;
        int mid = l + r >> 1;
        build(u << 1, l, mid);
        build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
        pushup(u);
    }
}

修改操作

此处的修改操作主要针对与懒标记，对于目标修改区间 \([l,r]\)：

  • 如果当前节点区间在 \([l,r]\) 内，修改当前节点；
  • 如果当前节点区间范围超过 \([l,r]\)，分别递归到左右子节点修改。

注意：每次做递归修改之前，需要将父节点的懒标记 \(pushdown\) 到左右子节点中！！！

modify函数： 

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void modify(int u, int l, int r, int v) {
    if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) {
        tr[u].sum += 1ll * (tr[u].r - tr[u].l + 1) * v;
        tr[u].add += v;
    } else {
        pushdown(u);
        int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
        if (l <= mid) modify(u << 1, l, r, v);
        if (r > mid) modify(u << 1 | 1, l, r, v);
        pushup(u);
    }
}

查询操作

对于每次查询，我们依旧需要把懒标记下传，防止最终答案是更新之前的值。

同样，对于目标查询区间 \([l,r]\)：

  • 当前节点区间在查询区间内，返回 \(root.sum\)；
  • 当前节点区间大于查询区间，返回 \(left.sum+right.sum\)。

注意：每次做递归修改之前，需要将父节点的懒标记 \(pushdown\) 到左右子节点中！！！

query函数： 

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LL query(int u, int l, int r) {
    // 1. 在目标区间内
    // l--------------r
    //      Tl----Tr
    if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) return tr[u].sum; 

    pushdown(u);
    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
    LL sum = 0;
    // 2. 在目标区间外
    //  l-----r
    // Tl---m---Tr
    if (l <= mid) sum = query(u << 1, l, r);
    if (r > mid) sum += query(u << 1 | 1, l, r);
    return sum;
}

代码(无注释)

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 100010;

int n, m;
LL w[N];
struct node {
    int l, r;
    LL sum, add;
} tr[N << 2];

void pushup(int u) {
    tr[u].sum = tr[u << 1].sum + tr[u << 1 | 1].sum;
}

void pushdown(int u) {
    auto &root = tr[u];
    auto &left = tr[u << 1];
    auto &right = tr[u << 1 | 1];

    if (root.add) {
        left.add += root.add;
        left.sum += 1ll * (left.r - left.l + 1) * root.add;
        right.add += root.add;
        right.sum += 1ll * (right.r - right.l + 1) * root.add;
        root.add = 0;
    }
}

void build(int u, int l, int r) {
    if (l == r) tr[u] = {l, r, w[r], 0};
    else {
        tr[u].l = l, tr[u].r = r;
        int mid = l + r >> 1;
        build(u << 1, l, mid);
        build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
        pushup(u);
    }
}

void modify(int u, int l, int r, LL v) {
    if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) {
        tr[u].add += v;
        tr[u].sum += 1ll * (tr[u].r - tr[u].l + 1) * v;
    } else {
        pushdown(u);
        int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
        if (l <= mid) modify(u << 1, l, r, v);
        if (r > mid) modify(u << 1 | 1, l, r, v);
        pushup(u);
    }
}

LL query(int u, int l, int r) {
    if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) return tr[u].sum;

    pushdown(u);
    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
    LL sum = 0;
    if (l <= mid) sum = query(u << 1, l, r);
    if (r > mid) sum += query(u << 1 | 1, l, r);
    return sum;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i];

    build(1, 1, n);

    int op, l, r;
    while (m--) {
        cin >> op >> l >> r;
        if (op == 1) {
            LL x; cin >> x;
            modify(1, l, r, x);
        } else cout << query(1, l, r) << endl;
    }

    return 0;
}

运行结果

accept

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