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烽火传递

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题目描述

烽火台是重要的军事防御设施,一般建在交通要道或险要处。

一旦有军情发生,则白天用浓烟,晚上有火光传递军情。

在某两个城市之间有 n 座烽火台,每个烽火台发出信号都有一定的代价。

为了使情报准确传递,在连续 m 个烽火台中至少要有一个发出信号。

现在输入 n,m 和每个烽火台的代价,请计算在两城市之间准确传递情报所需花费的总代价最少为多少。


思路 单调队列优化dp

状态:\(dp[i]\)

集合: 在前 1~i 个烽火台内,合法且点燃第 i 个烽火台的方案集合

属性: 所有方案代价的最小值

状态计算: \(dp[i]=\min\{dp[j]_{(i-m\le j\le i-1)}\}+w[i]\)

上式可得,只要取得区间 \([i-m,i-1]\) 内的最小值,即可更新出 \(dp[i]\) 的答案。最后需要枚举 \([n-m+1,n]\) 区间内的答案,取最小值即可。寻找区间最值可以用单调队列维护。

代码

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 200010;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int w[N], dp[N], q[N];
// dp[i] 前1~i个烽火台合法且点燃第i个

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0); cout.tie(0);

    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i];

    int hh = 0, tt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (q[hh] < i - m) hh++; // 超过边界需要弹出队列
        dp[i] = dp[q[hh]] + w[i];   // dp[q[hh] == min(dp[j])
        while (hh <= tt && dp[q[tt]] >= dp[i]) tt--;
        q[++tt] = i;
    }

    int res = inf;
    for (int i = n - m + 1; i <= n; i++) res = min(res, dp[i]);

    cout << res << endl;

    return 0;
}
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