最低通行费

原题链接

一个商人穿过一个 N×N 的正方形的网格，去参加一个非常重要的商务活动。

他要从网格的左上角进，右下角出。

每穿越中间 1 个小方格，都要花费 1 个单位时间。

商人必须在 (2N−1) 个单位时间穿越出去。

而在经过中间的每个小方格时，都需要缴纳一定的费用。

这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。

请问至少需要多少费用？

注意：不能对角穿越各个小方格（即，只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格）。

输入格式

第一行是一个整数，表示正方形的宽度 N。

后面 N 行，每行 N 个不大于 100 的正整数，为网格上每个小方格的费用。

输出格式

输出一个整数，表示至少需要的费用。

数据范围

\(1≤N≤100\)

输入样例：

5
1  4  6  8  10
2  5  7  15 17
6  8  9  18 20
10 11 12 19 21
20 23 25 29 33

输出样例：

109

样例解释

样例中，最小值为 \(109=1+2+5+7+9+12+19+21+33\)。

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思路

状态定义：

dp[i][j] 表示第 \(i\) 行、第 \(j\) 列所有通行费的数量集合。

状态属性：

最小值

状态转移方程：

\[dp[i][j] = \min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + w[i][j]\]

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 110;

int n;
int dp[N][N];

int main() {
    memset(dp, 0x3f, sizeof dp);

    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            cin >> dp[i][j];
            if (i == 1 && j == 1) continue;
            dp[i][j] += min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
        }

    cout << dp[n][n] << endl;

    return 0;
}