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介绍欧拉图

本页面将简要介绍欧拉图的概念、实现和应用。

定义

  • 欧拉回路：通过图中每条边恰好一次的回路
  • 欧拉通路：通过图中每条边恰好一次的通路
  • 欧拉图：具有欧拉回路的图
  • 半欧拉图：具有欧拉通路但不具有欧拉回路的图

性质

欧拉图中所有顶点的度数都是偶数。

若 \(G\) 是欧拉图，则它为若干个环的并，且每条边被包含在奇数个环内。

判别法

  1. 无向图是欧拉图当且仅当：
    • 非零度顶点是连通的
    • 顶点的度数都是偶数
  2. 无向图是半欧拉图当且仅当：
    • 非零度顶点是连通的
    • 恰有 0 或 2 个奇度顶点
  3. 有向图是欧拉图当且仅当：
    • 非零度顶点是强连通的
    • 每个顶点的入度和出度相等
  4. 有向图是半欧拉图当且仅当：
    • 非零度顶点是弱连通的
    • 至多一个顶点的出度与入度之差为 1
    • 至多一个顶点的入度与出度之差为 1
    • 其他顶点的入度和出度相等

求欧拉回路或欧拉路

Fleury 算法

也称避桥法，是一个偏暴力的算法。

算法流程为每次选择下一条边的时候优先选择不是桥的边。

一个广泛使用但是错误的实现方式是先 Tarjan 预处理桥边，然后再 DFS 避免走桥。但是由于走图过程中边会被删去，一些非桥边会变为桥边导致错误。最简单的实现方法是每次删除一条边之后暴力跑一遍 Tarjan 找桥，时间复杂度是 \(\Theta(m(n+m))=\Theta(m^2)\)。复杂的实现方法要用到动态图等，实用价值不高。

Hierholzer 算法

也称逐步插入回路法。

过程

算法流程为从一条回路开始，每次任取一条目前回路中的点，将其替换为一条简单回路，以此寻找到一条欧拉回路。如果从路开始的话，就可以寻找到一条欧拉路。

实现

Hierholzer 算法的暴力实现如下：

\[ \begin{array}{ll} 1 & \textbf{Input. } \text{The edges of the graph } e , \text{ where each element in } e \text{ is } (u, v) \\ 2 & \textbf{Output. } \text{The vertex of the Euler Road of the input graph}.\\ 3 & \textbf{Method. } \\ 4 & \textbf{Function } \text{Hierholzer } (v) \\ 5 & \qquad circle \gets \text{Find a Circle in } e \text{ Begin with } v \\ 6 & \qquad \textbf{if } circle=\varnothing \\ 7 & \qquad\qquad \textbf{return } v \\ 8 & \qquad e \gets e-circle \\ 9 & \qquad \textbf{for} \text{ each } v \in circle \\ 10& \qquad\qquad v \gets \text{Hierholzer}(v) \\ 11& \qquad \textbf{return } circle \\ 12& \textbf{Endfunction}\\ 13& \textbf{return } \text{Hierholzer}(\text{any vertex}) \end{array} \]

性质

这个算法的时间复杂度约为 \(O(nm+m^2)\)。实际上还有复杂度更低的实现方法，就是将找回路的 DFS 和 Hierholzer 算法的递归合并，边找回路边使用 Hierholzer 算法。

如果需要输出字典序最小的欧拉路或欧拉回路的话，因为需要将边排序，时间复杂度是 \(\Theta(n+m\log m)\)（计数排序或者基数排序可以优化至 \(\Theta(n+m)\)）。如果不需要排序，时间复杂度是 \(\Theta(n+m)\)。

应用

有向欧拉图可用于计算机译码。

设有 \(m\) 个字母，希望构造一个有 \(m^n\) 个扇形的圆盘，每个圆盘上放一个字母，使得圆盘上每连续 \(n\) 位对应长为 \(n\) 的符号串。转动一周（\(m^n\) 次）后得到由 \(m\) 个字母产生的长度为 \(n\) 的 \(m^n\) 个各不相同的符号串。

构造如下有向欧拉图：

设 \(S = \{a_1, a_2, \cdots, a_m\}\)，构造 \(D=<V, E>\)，如下：

\(V = \{a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}} |a_i \in S, 1 \leq i \leq n - 1 \}\)

\(E = \{a_{j_1}a_{j_2}\cdots a_{j_{n-1}}|a_j \in S, 1 \leq j \leq n\}\)

规定 \(D\) 中顶点与边的关联关系如下：

顶点 \(a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}}\) 引出 \(m\) 条边：\(a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}}a_r, r=1, 2, \cdots, m\)。

边 \(a_{j_1}a_{j_2}\cdots a_{j_{n-1}}\) 引入顶点 \(a_{j_2}a_{j_3}\cdots a_{j_{n}}\)。

这样的 \(D\) 是连通的，且每个顶点入度等于出度（均等于 \(m\)），所以 \(D\) 是有向欧拉图。

任求 \(D\) 中一条欧拉回路 \(C\)，取 \(C\) 中各边的最后一个字母，按各边在 \(C\) 中的顺序排成圆形放在圆盘上即可。

例题

洛谷 P2731 骑马修栅栏

给定一张有 500 个顶点的无向图，求这张图的一条欧拉路或欧拉回路。如果有多组解，输出最小的那一组。

在本题中，欧拉路或欧拉回路不需要经过所有顶点。

边的数量 m 满足 \(1\leq m \leq 1024\)。

解题思路

用 Fleury 算法解决本题的时候只需要再贪心就好，不过由于复杂度不对，还是换 Hierholzer 算法吧。

保存答案可以使用 stack<int>，因为如果找的不是回路的话必须将那一部分放在最后。

注意，不能使用邻接矩阵存图，否则时间复杂度会退化为 \(\Theta(nm)\)。由于需要将边排序，建议使用前向星或者 vector 存图。示例代码使用 vector。

示例代码 
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#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <stack>
#include <vector>
using namespace std;

struct edge {
    int to;
    bool exists;
    int revref;

    bool operator<(const edge &b) const {
        return to < b.to;
    }
};

vector<edge> beg[505];
int cnt[505];

const int dn = 500;
stack<int> ans;

void Hierholzer(int x) {  // 关键函数
    for (int &i = cnt[x]; i < (int)beg[x].size();) {
        if (beg[x][i].exists) {
            edge e = beg[x][i];
            beg[x][i].exists = 0;
            beg[e.to][e.revref].exists = 0;
            ++i;
            Hierholzer(e.to);
        } else {
            ++i;
        }
    }
    ans.push(x);
}

int deg[505];
int reftop[505];

int main() {
    for (int i = 1; i <= dn; ++i) {
        beg[i].reserve(1050);  // vector 用 reserve 避免动态分配空间，加快速度
    }

    int m;
    scanf("%d", &m);
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        beg[a].push_back((edge) {
            b, 1, 0
        });
        beg[b].push_back((edge) {
            a, 1, 0
        });
        ++deg[a];
        ++deg[b];
    }

    for (int i = 1; i <= dn; ++i) {
        if (!beg[i].empty()) {
            sort(beg[i].begin(), beg[i].end());  // 为了要按字典序贪心，必须排序
        }
    }

    for (int i = 1; i <= dn; ++i) {
        for (int j = 0; j < (int)beg[i].size(); ++j) {
            beg[i][j].revref = reftop[beg[i][j].to]++;
        }
    }

    int bv = 0;
    for (int i = 1; i <= dn; ++i) {
        if (!deg[bv] && deg[i]) {
            bv = i;
        } else if (!(deg[bv] & 1) && (deg[i] & 1)) {
            bv = i;
        }
    }

    Hierholzer(bv);

    while (!ans.empty()) {
        printf("%d\n", ans.top());
        ans.pop();
    }
}

习题

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