银河

原题链接

题目描述

银河中的恒星浩如烟海，但是我们只关注那些最亮的恒星。

我们用一个正整数来表示恒星的亮度，数值越大则恒星就越亮，恒星的亮度最暗是 1。

现在对于 N 颗我们关注的恒星，有 M 对亮度之间的相对关系已经判明。

你的任务就是求出这 N 颗恒星的亮度值总和至少有多大。

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强连通分量+差分约束

首先，题目要求取最小值，需要用最长路来求，取所有 \(X_i\) 下界的最大值。

情况1：\(A=B\Rightarrow A\ge B,B\ge A\)

情况2：\(A<B\Rightarrow B\ge A+1\)

情况3：\(A\ge B\Rightarrow A\ge B\)

情况4：\(A>B\Rightarrow A\ge B+1\)

情况5：\(A\le B\Rightarrow B\ge A\)

解题步骤：

1. 超级源点
2. 不等式建图
3. tarjan
4. 建立新DAG
5. 如果SCC内部有1边，即存在正环，返回无解
6. 按照DAG跑一遍求从0点到每个SCC的最长路
7. 加总每个SCC的最长路 * SCC的size

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 100010, M = 600010;

int n, m;
int h[N], hs[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
int dfn[N], low[N], scc[N], sz[N], dfncnt, sc;
bool stk[N];
stack<int> St;
int dist[N];

void add(int h[], int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

void tarjan(int u) {
    dfn[u] = low[u] = ++dfncnt;
    St.push(u);
    stk[u] = true;

    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {
        int j = e[i];
        if (!dfn[j]) {
            tarjan(j);
            low[u] = min(low[u], low[j]);
        } else if (stk[j]) low[u] = min(low[u], dfn[j]);
    }

    if (dfn[u] == low[u]) {
        int y;
        ++sc;
        do {
            y = St.top();
            St.pop();
            stk[y] = false;
            scc[y] = sc;
            sz[sc]++;
        } while (y != u);
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0); cout.tie(0);

    memset(h, -1, sizeof h);
    memset(hs, -1, sizeof hs);
    cin >> n >> m;
    while (m--) {
        int t, a, b;
        cin >> t >> a >> b;
        if (t == 1) add(h, a, b, 0), add(h, b, a, 0);
        else if (t == 2) add(h, a, b, 1);
        else if (t == 3) add(h, b, a, 0);
        else if (t == 4) add(h, b, a, 1);
        else add(h, a, b, 0);
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) add(h, 0, i, 1);

    tarjan(0);

    bool ok = true;
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        for (int j = h[i]; j != -1; j = ne[j]) {
            int k = e[j];
            int a = scc[i], b = scc[k];
            if (a == b) {
                if (w[j] > 0) {
                    ok = false;
                    break;
                }
            } else add(hs, a, b, w[j]);
        }
        if (!ok) break;
    }

    if (!ok) cout << -1 << endl;
    else {
        for (int i = sc; i; i--) {
            for (int j = hs[i]; j != -1; j = ne[j]) {
                int k = e[j];
                dist[k] = max(dist[k], dist[i] + w[j]);
            }
        }

        LL res = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) res += (LL)dist[i] * sz[i];
        cout << res << endl;
    }

    return 0;
}