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介绍拓扑排序

定义

拓扑排序的英文名是 Topological sorting。

拓扑排序要解决的问题是给一个图的所有节点排序。

我们可以拿大学选课的例子来描述这个过程，比如学习大学课程中有：单变量微积分，线性代数，离散数学概述，概率论与统计学概述，语言基础，算法导论，机器学习。当我们想要学习 算法导论 的时候，就必须先学会 离散数学概述 和 概率论与统计学概述，不然在课堂就会听的一脸懵逼。当然还有一个更加前的课程 单变量微积分。这些课程就相当于几个顶点 \(u\), 顶点之间的有向边 \((u,v)\) 就相当于学习课程的顺序。显然拓扑排序不是那么的麻烦，不然你是如何选出合适的学习顺序。下面将介绍如何将这个过程抽象出来，用算法来实现。

但是如果某一天排课的老师打瞌睡了，说想要学习 算法导论，还得先学 机器学习，而 机器学习 的前置课程又是 算法导论，然后你就一万脸懵逼了，我到底应该先学哪一个？当然我们在这里不考虑什么同时学几个课程的情况。在这里，算法导论 和 机器学习 间就出现了一个环，显然你现在没办法弄清楚你需要学什么了，于是你也没办法进行拓扑排序了。因而如果有向图中存在环路，那么我们就没办法进行 拓扑排序 了。

因此我们可以说 在一个 DAG（有向无环图） 中，我们将图中的顶点以线性方式进行排序，使得对于任何的顶点 \(u\) 到 \(v\) 的有向边 \((u,v)\), 都可以有 \(u\) 在 \(v\) 的前面。

还有给定一个 DAG，如果从 \(i\) 到 \(j\) 有边，则认为 \(j\) 依赖于 \(i\)。如果 \(i\) 到 \(j\) 有路径（\(i\) 可达 \(j\)），则称 \(j\) 间接依赖于 \(i\)。

拓扑排序的目标是将所有节点排序，使得排在前面的节点不能依赖于排在后面的节点。

Kahn 算法

过程

初始状态下，集合 \(S\) 装着所有入度为 \(0\) 的点，\(L\) 是一个空列表。

每次从 \(S\) 中取出一个点 \(u\)（可以随便取）放入 \(L\), 然后将 \(u\) 的所有边 \((u, v_1), (u, v_2), (u, v_3) \cdots\) 删除。对于边 \((u, v)\)，若将该边删除后点 \(v\) 的入度变为 \(0\)，则将 \(v\) 放入 \(S\) 中。

不断重复以上过程，直到集合 \(S\) 为空。检查图中是否存在任何边，如果有，那么这个图一定有环路，否则返回 \(L\)，\(L\) 中顶点的顺序就是拓扑排序的结果。

首先看来自 Wikipedia 的伪代码

实现 
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L ← Empty list that will contain the sorted elements
S ← Set of all nodes with no incoming edges
while S is not empty do
    remove a node n from S
    insert n into L
    for each node m with an edge e from n to m do
        remove edge e from the graph
        if m has no other incoming edges then
            insert m into S
if graph has edges then
    return error (graph has at least one cycle)
else
    return L (a topologically sorted order)

代码的核心是维持一个入度为 0 的顶点的集合。

可以参考该图

topo

对其排序的结果就是：2 -> 8 -> 0 -> 3 -> 7 -> 1 -> 5 -> 6 -> 9 -> 4 -> 11 -> 10 -> 12

时间复杂度

假设这个图 \(G = (V, E)\) 在初始化入度为 \(0\) 的集合 \(S\) 的时候就需要遍历整个图，并检查每一条边，因而有 \(O(E+V)\) 的复杂度。然后对该集合进行操作，显然也是需要 \(O(E+V)\) 的时间复杂度。

因而总的时间复杂度就有 \(O(E+V)\)

实现

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int n, m;
vector<int> G[MAXN];
int in[MAXN];  // 存储每个结点的入度

bool toposort() {
  vector<int> L;
  queue<int> S;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    if (in[i] == 0) S.push(i);
  while (!S.empty()) {
    int u = S.front();
    S.pop();
    L.push_back(u);
    for (auto v : G[u]) {
      if (--in[v] == 0) {
        S.push(v);
      }
    }
  }
  if (L.size() == n) {
    for (auto i : L) cout << i << ' ';
    return true;
  } else {
    return false;
  }
}

DFS 算法

实现

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// C++ Version
vector<int> G[MAXN];  // vector 实现的邻接表
int c[MAXN];          // 标志数组
vector<int> topo;     // 拓扑排序后的节点

bool dfs(int u) {
  c[u] = -1;
  for (int v : G[u]) {
    if (c[v] < 0)
      return false;
    else if (!c[v])
      if (!dfs(v)) return false;
  }
  c[u] = 1;
  topo.push_back(u);
  return true;
}

bool toposort() {
  topo.clear();
  memset(c, 0, sizeof(c));
  for (int u = 0; u < n; u++)
    if (!c[u])
      if (!dfs(u)) return false;
  reverse(topo.begin(), topo.end());
  return true;
}

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# Python Version
G = [] * MAXN
c = [0] * MAXN
topo = []

def dfs(u):
    c[u] = -1
    for v in G[u]:
        if c[v] < 0:
            return False
        elif c[v] == False:
            if dfs(v) == False:
                return False
    c[u] = 1
    topo.append(u)
    return True

def toposort():
    topo = []
    while u < n:
        if c[u] == 0:
            if dfs(u) == False:
                return False
        u = u + 1
    topo.reverse()
    return True

时间复杂度：\(O(E+V)\) 空间复杂度：\(O(V)\)

合理性证明

考虑一个图，删掉某个入度为 \(0\) 的节点之后，如果新图可以拓扑排序，那么原图一定也可以。反过来，如果原图可以拓扑排序，那么删掉后也可以。

应用

拓扑排序可以用来判断图中是否有环，

还可以用来判断图是否是一条链。

求字典序最大/最小的拓扑排序

将 Kahn 算法中的队列替换成最大堆/最小堆实现的优先队列即可，此时总的时间复杂度为 \(O(E+V \log{V})\)。

习题

CF 1385E：需要通过拓扑排序构造。

Luogu P1347: 拓扑排序模板。

参考

  1. 离散数学及其应用。ISBN:9787111555391
  2. https://blog.csdn.net/dm_vincent/article/details/7714519
  3. Topological sorting,https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Topological_sorting&oldid=854351542
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